Ecuación de segundo grado

Sabemos que la ecuación es una igualdad con una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas, su grado es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación y por eso existen ecuaciones de primer grado también llamadas simples o lineales, y las de segundo grado o cuadráticas.

  

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica de la forma ax² + bx+ c = 0, siendo:  a, b y c números reales y a ≠0.

Ejemplos:

1. -4x² + 6x+ 9 = 0

2. x²- 8x+ 1 = 0

3. 8x²+ 7 = 0

4. -5x²+ 4x = 0

5. 2x²+ 3x -3 = 0

Cuando b ≠ 0 y c ≠ 0, se dice que es completa como en los ejemplos 1, 2 y 5 , si b o c son cero es incompleta como en los ejemplos 3 y 4.

Los números que ocupan los lugares a, b y c son llamados coeficientes.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax²+ bx + c, donde  a, b, y c son números reales. 

Ejemplo:

9x² + 6x + 10          a = 9, b = 6, c = 10

3x²  - 9x                  a = 3, b = -9, c = 0

-6x²+ 10                     a = -6, b = 0, c = 10 

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
 

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
  Factorización Simple:  

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

 x²+ 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8 

 

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²] 

( x +   )   (x  -   ) = 0

Hay que buscar dos números que multipliquen y den el valor de c y que a la vez sumen y el valor sea igual a b.

En este caso, dos números cuyo producto sea -8, y que estos mismos números sumen 2.  

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2

                                                                      4 · -2 = -8
    4x                                                                                                                                               -2x

    2x

  x + 4 = 0       x – 2 = 0 

x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones. 

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax²+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x² + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

Hay que despejar por la constante de a, o sea, 4.

  
4x² + 12x – 8 = 0

 4         4     4    4

x²+ 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.


Ejemplo:x²+ 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] 

x²+ 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]x²+ 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x²+ 2x + 1 = 8 + 1

En el blanco, colocar la mitad de b al cuadrado 2/2=1 1²=1

x²+ 2x + 1 = 9

(    ) (    ) = 9                                       Hay que factorizar.
                                                           Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

Para eliminar el exponente, hay que colocar raíz cuadrada. 

Ejemplo:  

x² =9 

x   = ± √9

x   = ± 3             ya que 3²=9 y (-3)²=9

±3 significa +3 y -3

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3  [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3     x = -1 – 3
x = 2            x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

 x²+ 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6 

2

X = -2 + 6 x = -2 - 6 

2 2 

x = 4 x = -8 

2 2

x = 2 x = - 4

Vamos a resolver el problema anterior con la ayuda de una aplicación para dispositivos llamada Photomath 

Escribimos la ecuación principal e inmediatamente nos arrojará los valores de x, daremos click en las flechas junto al resultado: 

 Elegiremos el procedimiento de factorización, en este caso elegí el de la fórmula general:

Inmediatamente nos aparecerán todos los pasos que debemos seguir para llegar al resultado utilizando este método:

Al final obtendremos el resultado y también su gráfica:

Referencias bibliográficas

Hernández, Arturo . (2014). Ecuaciones de segundo grado. 26 de abril de 2018, de Universidad de La Punta Sitio web: http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica3/ecuaciones_de_segundo_grado.html

Murrias, Melissa y Rivera, Luz M.. (2010). Ecuaciones Cuadráticas – Factorización. 26 de abril de 2018, de Centro de Recursos Educativos de Matemáticas y Ciencias Sitio web: http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html