Bibliografía

• Basto, Ruiz Joaquín. (México ). Matemáticas 4: Precalculo funciones y aplicaciones. 2014: Grupo Editorial Patria.
• Arturo Aguilar Márquez, Fabián Valapai Bravo Vázquez, Herman Aurelio Gallegos Ruiz, Miguel Cerón Villegas y Ricardo Reyes Figueroa. (2010). Calculo diferencial. México: CONAMAT.
• Quintanar, León Andrés . (2004). Ecuaciones. En Guía de tareas y métodos de estudio (pág. 175). Colombia: Letrarte.
• Basto, Ruiz Joaquín . (2016). Matemáticas: Álgebra en acción . México: Grupo Editorial Patria.
• Hernández, Arturo . (2014). Ecuaciones de segundo grado. 26 de abril de 2018, de Universidad de La Punta Sitio web: http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica3/ecuaciones_de_segundo_grado.html
• Murrias, Melissa y Rivera, Luz M.. (2010). Ecuaciones Cuadráticas – Factorización. 26 de abril de 2018, de Centro de Recursos Educativos de Matemáticas y Ciencias Sitio web: http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html
• Hoveimer, L. 2011, ecuaciones y la vida cotidiana, mayo, 07, 2018 prezi https://prezi.org.com/m/-nz_1u3svvpk/ecuaciones-y-la-vida-cotidiana/

Conclusiones

Al finalizar nuestra investigación acerca de la función de segundo grado en conjunto con su relación a la ecuación, podríamos destacar distintos puntos y por supuesto también opiniones del equipo en general. 

Este proyecto nos ha ayudado a entender mejor el tema que hemos tratado entre clases, gracias a que este no solo se trata de investigar, sino de comprender para luego dar a conocer. Y gracias a esto entendemos la importancia que tienen las funciones, no solo como una herramienta usada en las matemáticas, sino el como pueden llegar a impactar en nuestra vidas, tal vez no sea siempre de forma directa, pero por ejemplo,sabemos de su trabajo en todas aquellas pertenencias que tenemos dentro de nuestras casas que fueron posibles gracias a estas en conjunto con su respectiva ecuación, aunque podría darse el caso de que también lo ignoremos. Tal es el ejemplo del reloj, el cual es cierto que pareciera un objeto sin más, pero que sin embargo en su creación está lo verdaderamente importante, el cual sin una función probablemente ni existiría, o el automóvil, aquél que usamos como transporte y que gracias a las maravillas de las matemáticas ha sido posible. Y no ignoremos las posibilidades de encontrar el volumen de alguna estructura hecha por el hombre, o el  saber  los ingresos que tienen un producto. 

El saber resolver ecuaciones no se limita a encontrar el resultado final, es necesario saber representarlo con la ayuda de las herramientas que tengamos a la mano, como la ayuda de un plano cartesiano, en el que habiendo encontrando los resultados de la ecuación será fácil identificar su relación y progreso o descenso según sea el caso.

Introducción

Somos un equipo de cuatro integrantes que hemos creado este blog con el principal propósito de que nuestros lectores sepan distinguir entre una función y una ecuación de tipo cuadrática, además de que sepan cómo relacionarlas mediante distintos problemas planteados, todo esto utilizando diferente información recopilada de libros, enciclopedias o la web siempre utilizando fuentes confiables. 

En esta época en donde la tecnología ha revolucionado casi todo lo que nos rodea podemos utilizar sus beneficios en las matemáticas, es por eso que a lo largo de este blog te recomendamos distintas aplicaciones en las cuales te enseñamos su uso paso por paso, todas estas son para celular o computadora y te ayudan a realizar o comprender las funciones y ecuaciones cuadráticas, en especial cuando se necesita graficar alguna de estas. 

En cada tema a tratar te damos una sencilla explicación del tema para que así junto con nosotros puedas ir resolviendo los ejercicios; te ofrecemos distintas referencias bibliográficas para que las puedas visitar y corroborar la información que te mostramos e incluso puedes obtener más; puedes dejar un comentario en cada post si surge alguna duda, lo que queremos es ser claros y precisos con nuestras explicaciones.

Involucramos imágenes para una mayor comprensión, cada autor publicó un post para poder hacer esto más equitativo y para una mejor presentación decoramos el blog con un fondo que nos identifica mucho por el lugar del que somos.

Esperamos que disfrutes el contenido y que sea de mucha ayuda, sobretodo que entiendas la verdadera importancia de la función y ecuación de segundo grado en las matemáticas ya que sin ellas desconoceríamos cantidades importantes en grandes áreas como la industrial, agricultura, el comercio, hasta en la creación de armas de guerra se utiliza para medir la caída de misiles, no las desaproveches y síguelas estudiando.

   

Aplicación de la función

Aplicación de la función.

La aplicación de función se encuentra en las matemáticas, física, economía, etcétera como por ejemplo la función lineal se encuentra en la vida cotidiana para el uso de ofertas en centros comerciales, pues si un consumidor desea comprar un producto este depende del precio en el cual el articulo está disponible, otro ejemplo es en empresas o grandes negocios, pues ayuda a predecir ganancias o pérdidas de los artículos.

Aplicaciones para resolver funciones:

Graphic calculator

Primero debes de buscar la aplicación que deseas el buscador.

Poner en la opción de instalar.

Y finalmente así es como queda en tu aparato.

FX Calculus Problem Solver

Primero debes de buscar la aplicación en tu buscador

Después dar en la opción de instalar y esperar a que instale

Y finalmente así es como queda

Formulas derivadas integrales 

Primero poner en el buscador la aplicación que se desea buscar 

poner en la opción de instalar y esperar a que se descargue

Aplicación de la ecuación

Aplicación de la ecuación.

Las aplicaciones de la ecuación se utilizan en la vida cotidiana para diferentes situaciones, como por ejemplo, en el aumento de población de alguna ciudad, el aumento o la disminución de la temperatura, los cambios de velocidades de algo, la desintegración de cuerpos, se utiliza seguidamente en los cambios de una reacción química. Así que para expresarla matemáticamente, tenemos que identificar las variables que se hay en el cambio de sistema.

Hay diferentes aplicaciones para resolver las ecuaciones, en este caso mencionare tres, las cuales pueden ser:

1.       Photomath:

Primero en un buscador, poner la aplicación que quieres descargar

Después te saldrá esta opción, poner en aceptar

1.       Matemáticas

Primero poner en un buscador de tu celular la aplicación que quieres instalar

Después poner en la opción instalar

Y así es como aparecerá en tu dispositivo

1.      MalMath: Resolver paso a paso

Primero hay que poner en algún buscador la aplicación que deseas y poner en la opción instalar.

Después esperar a que se instale la aplicación

y finalmente asi es como queda la aplicación en tu aparato electrónico.

Fuente APA: Hoveimer, L. 2011, ecuaciones y la vida cotidiana, mayo, 07, 2018 prezi https://prezi.com/m/-nz_1u3svvpk/ecuaciones-y-la-vida-cotidiana/

Relación de función y ecuación de segundo grado

Relación de función y ecuación de segundo grado.

Antes es establecer la relación entre una función y una ecuación cuadrática tenemos que entenderlas de manera individual.

Ecuación cuadrática:

Tenemos que una ecuación cuadrática no presenta un exponente mayor a 2, asimismo presenta un termino lineal y otro independiente. La solución de una ecuación cuadrática nos indica los puntos de intersección de la parábola con el eje de las x; los métodos más comunes para resolverlas son:

• Por factorización

• Utilizando la formula general

• Completar cuadrado

Función cuadrática:

"En la formula que acabas de ver donde a, b y c son números reales cualesquiera y a es distinto de 0. El valor de b y c si puede ser cero".

Como puedes observar es igual a la ecuación cuadrática con la única diferencia que NO SE IGUALA A CERO y la forma de llegar a los puntos de intersección es diferente pero si tratamos de graficar de ambas formas una misma ecuación se lograra llevar al mismo resultado ya que ambas parten de ecuaciones cuadráticas, aunque claro con algunos cambios.

Función 

cuadrática.

 Ecuación

cuadrática.

Referencias bibliográficas:

• Arturo Aguilar Márquez, Fabián Valapai Bravo Vázquez, Herman Aurelio Gallegos Ruiz, Miguel Cerón Villegas y Ricardo Reyes Figueroa. (2010). Calculo diferencial. México: CONAMAT.

Ecuación de segundo grado

Sabemos que la ecuación es una igualdad con una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas, su grado es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación y por eso existen ecuaciones de primer grado también llamadas simples o lineales, y las de segundo grado o cuadráticas.

  

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica de la forma ax² + bx+ c = 0, siendo:  a, b y c números reales y a ≠0.

Ejemplos:

1. -4x² + 6x+ 9 = 0

2. x²- 8x+ 1 = 0

3. 8x²+ 7 = 0

4. -5x²+ 4x = 0

5. 2x²+ 3x -3 = 0

Cuando b ≠ 0 y c ≠ 0, se dice que es completa como en los ejemplos 1, 2 y 5 , si b o c son cero es incompleta como en los ejemplos 3 y 4.

Los números que ocupan los lugares a, b y c son llamados coeficientes.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax²+ bx + c, donde  a, b, y c son números reales. 

Ejemplo:

9x² + 6x + 10          a = 9, b = 6, c = 10

3x²  - 9x                  a = 3, b = -9, c = 0

-6x²+ 10                     a = -6, b = 0, c = 10 

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
 

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
  Factorización Simple:  

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

 x²+ 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8 

 

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²] 

( x +   )   (x  -   ) = 0

Hay que buscar dos números que multipliquen y den el valor de c y que a la vez sumen y el valor sea igual a b.

En este caso, dos números cuyo producto sea -8, y que estos mismos números sumen 2.  

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2

                                                                      4 · -2 = -8
    4x                                                                                                                                               -2x

    2x

  x + 4 = 0       x – 2 = 0 

x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones. 

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax²+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x² + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

Hay que despejar por la constante de a, o sea, 4.

  
4x² + 12x – 8 = 0

 4         4     4    4

x²+ 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.


Ejemplo:x²+ 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] 

x²+ 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]x²+ 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x²+ 2x + 1 = 8 + 1

En el blanco, colocar la mitad de b al cuadrado 2/2=1 1²=1

x²+ 2x + 1 = 9

(    ) (    ) = 9                                       Hay que factorizar.
                                                           Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

Para eliminar el exponente, hay que colocar raíz cuadrada. 

Ejemplo:  

x² =9 

x   = ± √9

x   = ± 3             ya que 3²=9 y (-3)²=9

±3 significa +3 y -3

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3  [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3     x = -1 – 3
x = 2            x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

 x²+ 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6 

2

X = -2 + 6 x = -2 - 6 

2 2 

x = 4 x = -8 

2 2

x = 2 x = - 4

Vamos a resolver el problema anterior con la ayuda de una aplicación para dispositivos llamada Photomath 

Escribimos la ecuación principal e inmediatamente nos arrojará los valores de x, daremos click en las flechas junto al resultado: 

 Elegiremos el procedimiento de factorización, en este caso elegí el de la fórmula general:

Inmediatamente nos aparecerán todos los pasos que debemos seguir para llegar al resultado utilizando este método:

Al final obtendremos el resultado y también su gráfica:

Referencias bibliográficas

Hernández, Arturo . (2014). Ecuaciones de segundo grado. 26 de abril de 2018, de Universidad de La Punta Sitio web: http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica3/ecuaciones_de_segundo_grado.html

Murrias, Melissa y Rivera, Luz M.. (2010). Ecuaciones Cuadráticas – Factorización. 26 de abril de 2018, de Centro de Recursos Educativos de Matemáticas y Ciencias Sitio web: http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html

Función segundo grado

Por función se entiende una relación entre dos magnitudes, x e y, definida de modo que a cada valor de la primera x le corresponde un único valor de la segunda y.
Así pues, una función es una correspondencia o aplicación f  del conjunto A de los valores de una cierta variable x en un conjunto B de los valores de una cierta variable y. La función acostumbra a representarse mediante la fórmula y = f(x), donde f simboliza el conjunto de operaciones que deben realizarse a partir de cada valor particular de x para obtener el valor correspondiente de y. 


Una función de segundo grado tiene la siguiente forma: 

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas, la cual lleva por nombre eje de simetría.

CARACTERÍSTICAS GENERALES

• El dominio de las funciones cuadráticas es R. 

• Tiene un eje de simetría cuya fórmula es: 

• El vértice de la parábola es: 

Cuando resuelves un problema usando una función cuadrática puede ser

 necesario encontrar el vértice o describir una sección de la parábola.

• Corta al eje x en dos puntos, uno o ninguno, según el número de raíces reales de ax^2+ bx+ c

• Corta en el eje y en el punto (0,c).

• Al aumentar  a  en valor absoluto, la parábola se hace más estrecha.

• El vértice es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.

• Es cóncava si a > 0 y se encuentra orientada hacia arriba, mientras que es convexa si a < 0 y se orienta hacia abajo.

TIPOS DE FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO

Si b = 0 y c = 0

La función   f(x) = ax²   tiene su vértice en el punto   (0, 0)   y su eje de simetría es el eje Y.

Si b = 0 y c ≠ 0 

La función   f(x) = ax² + c   tiene su vértice en el punto   (0, c)   y su eje de simetría es el eje Y.

Si b ≠ 0 y c = 0

La función   f(x) = ax² + bx   tiene su vértice y su eje de simetría en:

      

Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Son usadas en los negocios, la ciencia y la ingeniería, así como para tratar temas de la gravedad. Como ejemplo de lo que ha sido creado a través de las funciones cuadráticas son los relojes y los automóviles. 

Marco Teórico

                      FUNCIÓN

Se puede denominar como la relación de un conjunto donde parejas de ordenadas (y) determinan el dominio y los valores de rango de la relación.

     Las funciones se pueden escribir de muchas formas como oraciones, diagramas, tablas, gráficas y ecuaciones, por ejemplo:

                                                                            Oración                                                                            

                                                   a cada número entero negativo del                                      

                                                        5 al 10 se le asocia el doble.                          

                                                                          Tabla

x	5	6	7	8
y	10	12	14	16

                                                                                 Graficas 

                                                                                            

                                                                                 Diagramas

   Ecuaciones

                                                                                      y = 2x

 clasificación de funciones:

Existen diversos criterios para clasificar funciones como lo son su gráfica y el tipo de operaciones que admiten.

                                                                       Por sus gráficas

                                                                           Continuas                                     

                                                            

                                                                     Discontinuas

                                                    

                                           Por las operaciones para obtener sus valores

                                   Algebraicas                                              Trascendentes

                                 - Polinomiales                                            - Exponenciales

                                 -Racionales                                                 - Logarítmicas

                                -Ni polinomial, ni racional                        -Trigonométricas

Notación de función:

Esta es una manera de escribir funciones que aclara el nombre de la función, de las variables independientes, de las variables dependientes y de la regla de la transformación.

                                                                                     f (x)

Tenemos una función llamada f y la variable en que debe evaluarse la función es x. El dominio de la función describe los valores de x que se pueden poner en la función.

                                                                             Se lee f de x

                                                             la hemos usado así y= 3x -2

                                                               la cambiamos a f (x)= 3x -2

 
Para que esto quede más claro mostraremos un ejemplo paso a paso.

si f (x)= 3x + 2

  operación a realizar:      f ( x + a) - f (a)

                                                          x

PASO 1: Apartir de  f (x)= 3x + 2 vamos a ir sustituyendo los términos, que se encuentran dentro de los paréntesis de la operación, además del denominador, por nuestra variable en la notación, que es x y por ultimo vamos a realizar la operación correspondiente.

                                                f ( x + a) - f (a)

                                                          x

f (x)= 3x + 2                                      f (x)= 3x + 2

f (x + a)                                              f(a)

PASO 2: Vamos a 

3(x + a) + 2 = 3x + 3a +2                 3a +2

PASO 2: En nuestra operación vamos a remplazar el valor actual de los paréntesis por el resultado de las operaciones anteriores y por ultimo vamos a realizar la operación.

                                                        

                                            f  (x + a) - f (a)                     

                                                          x

                                        3x+ 3a +2 - (3a + 2)

                                                          x

                                                          3x

                                                            x

        El resultado es: 3   

funciones especiales

Existen cuatro tipos de funciones que pueden calificarse como especiales.

                                                            Función constante:

                                      Para cualquier valor que se le de a x.

                                                  

                                                             Función identidad.

                                             

Estas dos primeras son particularmente especiales porque intervienen en la construcción de la mayoría de funciones.

                                                     Función valor absoluto.

                                                 

                                                     Función escalonada.

                                           

Estas ultimas son las representaciones típicas de funciones compuestas que se definen mediante el uso de dos o más ecuaciones.

funciones polinomiales

 tenemos funciones polinomiales de grado 0, 1 y 2, es decir, una constante multiplicada por una potencia de x.

Las funciones polinomiales más simples son de grado 0, 1 y 2, que corresponden a las funciones constante, lineal y cuadrática.

     Grado                 Función                   Expresión polinomial

          0                   Constante                             y = a

          1                     Lineal                                y= mx + b

          2                    Cuadrática                    y = ax2 + bx + c