Ecuación de segundo grado

Sabemos que la ecuación es una igualdad con una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas, su grado es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación y por eso existen ecuaciones de primer grado también llamadas simples o lineales, y las de segundo grado o cuadráticas.

  

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica de la forma ax² + bx+ c = 0, siendo:  a, b y c números reales y a ≠0.

Ejemplos:

1. -4x² + 6x+ 9 = 0

2. x²- 8x+ 1 = 0

3. 8x²+ 7 = 0

4. -5x²+ 4x = 0

5. 2x²+ 3x -3 = 0

Cuando b ≠ 0 y c ≠ 0, se dice que es completa como en los ejemplos 1, 2 y 5 , si b o c son cero es incompleta como en los ejemplos 3 y 4.

Los números que ocupan los lugares a, b y c son llamados coeficientes.

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax²+ bx + c, donde  a, b, y c son números reales. 

Ejemplo:

9x² + 6x + 10          a = 9, b = 6, c = 10

3x²  - 9x                  a = 3, b = -9, c = 0

-6x²+ 10                     a = -6, b = 0, c = 10 

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
 

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
  Factorización Simple:  

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

 x²+ 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8 

 

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²] 

( x +   )   (x  -   ) = 0

Hay que buscar dos números que multipliquen y den el valor de c y que a la vez sumen y el valor sea igual a b.

En este caso, dos números cuyo producto sea -8, y que estos mismos números sumen 2.  

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2

                                                                      4 · -2 = -8
    4x                                                                                                                                               -2x

    2x

  x + 4 = 0       x – 2 = 0 

x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones. 

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax²+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x² + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

Hay que despejar por la constante de a, o sea, 4.

  
4x² + 12x – 8 = 0

 4         4     4    4

x²+ 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.


Ejemplo:x²+ 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] 

x²+ 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]x²+ 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x²+ 2x + 1 = 8 + 1

En el blanco, colocar la mitad de b al cuadrado 2/2=1 1²=1

x²+ 2x + 1 = 9

(    ) (    ) = 9                                       Hay que factorizar.
                                                           Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

Para eliminar el exponente, hay que colocar raíz cuadrada. 

Ejemplo:  

x² =9 

x   = ± √9

x   = ± 3             ya que 3²=9 y (-3)²=9

±3 significa +3 y -3

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3  [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3     x = -1 – 3
x = 2            x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

 x²+ 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6 

2

X = -2 + 6 x = -2 - 6 

2 2 

x = 4 x = -8 

2 2

x = 2 x = - 4

Vamos a resolver el problema anterior con la ayuda de una aplicación para dispositivos llamada Photomath 

Escribimos la ecuación principal e inmediatamente nos arrojará los valores de x, daremos click en las flechas junto al resultado: 

 Elegiremos el procedimiento de factorización, en este caso elegí el de la fórmula general:

Inmediatamente nos aparecerán todos los pasos que debemos seguir para llegar al resultado utilizando este método:

Al final obtendremos el resultado y también su gráfica:

Referencias bibliográficas

Hernández, Arturo . (2014). Ecuaciones de segundo grado. 26 de abril de 2018, de Universidad de La Punta Sitio web: http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica3/ecuaciones_de_segundo_grado.html

Murrias, Melissa y Rivera, Luz M.. (2010). Ecuaciones Cuadráticas – Factorización. 26 de abril de 2018, de Centro de Recursos Educativos de Matemáticas y Ciencias Sitio web: http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html

Función segundo grado

Por función se entiende una relación entre dos magnitudes, x e y, definida de modo que a cada valor de la primera x le corresponde un único valor de la segunda y.
Así pues, una función es una correspondencia o aplicación f  del conjunto A de los valores de una cierta variable x en un conjunto B de los valores de una cierta variable y. La función acostumbra a representarse mediante la fórmula y = f(x), donde f simboliza el conjunto de operaciones que deben realizarse a partir de cada valor particular de x para obtener el valor correspondiente de y. 


Una función de segundo grado tiene la siguiente forma: 

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas, la cual lleva por nombre eje de simetría.

CARACTERÍSTICAS GENERALES

• El dominio de las funciones cuadráticas es R. 

• Tiene un eje de simetría cuya fórmula es: 

• El vértice de la parábola es: 

Cuando resuelves un problema usando una función cuadrática puede ser

 necesario encontrar el vértice o describir una sección de la parábola.

• Corta al eje x en dos puntos, uno o ninguno, según el número de raíces reales de ax^2+ bx+ c

• Corta en el eje y en el punto (0,c).

• Al aumentar  a  en valor absoluto, la parábola se hace más estrecha.

• El vértice es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.

• Es cóncava si a > 0 y se encuentra orientada hacia arriba, mientras que es convexa si a < 0 y se orienta hacia abajo.

TIPOS DE FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO

Si b = 0 y c = 0

La función   f(x) = ax²   tiene su vértice en el punto   (0, 0)   y su eje de simetría es el eje Y.

Si b = 0 y c ≠ 0 

La función   f(x) = ax² + c   tiene su vértice en el punto   (0, c)   y su eje de simetría es el eje Y.

Si b ≠ 0 y c = 0

La función   f(x) = ax² + bx   tiene su vértice y su eje de simetría en:

      

Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Son usadas en los negocios, la ciencia y la ingeniería, así como para tratar temas de la gravedad. Como ejemplo de lo que ha sido creado a través de las funciones cuadráticas son los relojes y los automóviles. 

Marco Teórico

                      FUNCIÓN

Se puede denominar como la relación de un conjunto donde parejas de ordenadas (y) determinan el dominio y los valores de rango de la relación.

     Las funciones se pueden escribir de muchas formas como oraciones, diagramas, tablas, gráficas y ecuaciones, por ejemplo:

                                                                            Oración                                                                            

                                                   a cada número entero negativo del                                      

                                                        5 al 10 se le asocia el doble.                          

                                                                          Tabla

x	5	6	7	8
y	10	12	14	16

                                                                                 Graficas 

                                                                                            

                                                                                 Diagramas

   Ecuaciones

                                                                                      y = 2x

 clasificación de funciones:

Existen diversos criterios para clasificar funciones como lo son su gráfica y el tipo de operaciones que admiten.

                                                                       Por sus gráficas

                                                                           Continuas                                     

                                                            

                                                                     Discontinuas

                                                    

                                           Por las operaciones para obtener sus valores

                                   Algebraicas                                              Trascendentes

                                 - Polinomiales                                            - Exponenciales

                                 -Racionales                                                 - Logarítmicas

                                -Ni polinomial, ni racional                        -Trigonométricas

Notación de función:

Esta es una manera de escribir funciones que aclara el nombre de la función, de las variables independientes, de las variables dependientes y de la regla de la transformación.

                                                                                     f (x)

Tenemos una función llamada f y la variable en que debe evaluarse la función es x. El dominio de la función describe los valores de x que se pueden poner en la función.

                                                                             Se lee f de x

                                                             la hemos usado así y= 3x -2

                                                               la cambiamos a f (x)= 3x -2

 
Para que esto quede más claro mostraremos un ejemplo paso a paso.

si f (x)= 3x + 2

  operación a realizar:      f ( x + a) - f (a)

                                                          x

PASO 1: Apartir de  f (x)= 3x + 2 vamos a ir sustituyendo los términos, que se encuentran dentro de los paréntesis de la operación, además del denominador, por nuestra variable en la notación, que es x y por ultimo vamos a realizar la operación correspondiente.

                                                f ( x + a) - f (a)

                                                          x

f (x)= 3x + 2                                      f (x)= 3x + 2

f (x + a)                                              f(a)

PASO 2: Vamos a 

3(x + a) + 2 = 3x + 3a +2                 3a +2

PASO 2: En nuestra operación vamos a remplazar el valor actual de los paréntesis por el resultado de las operaciones anteriores y por ultimo vamos a realizar la operación.

                                                        

                                            f  (x + a) - f (a)                     

                                                          x

                                        3x+ 3a +2 - (3a + 2)

                                                          x

                                                          3x

                                                            x

        El resultado es: 3   

funciones especiales

Existen cuatro tipos de funciones que pueden calificarse como especiales.

                                                            Función constante:

                                      Para cualquier valor que se le de a x.

                                                  

                                                             Función identidad.

                                             

Estas dos primeras son particularmente especiales porque intervienen en la construcción de la mayoría de funciones.

                                                     Función valor absoluto.

                                                 

                                                     Función escalonada.

                                           

Estas ultimas son las representaciones típicas de funciones compuestas que se definen mediante el uso de dos o más ecuaciones.

funciones polinomiales

 tenemos funciones polinomiales de grado 0, 1 y 2, es decir, una constante multiplicada por una potencia de x.

Las funciones polinomiales más simples son de grado 0, 1 y 2, que corresponden a las funciones constante, lineal y cuadrática.

     Grado                 Función                   Expresión polinomial

          0                   Constante                             y = a

          1                     Lineal                                y= mx + b

          2                    Cuadrática                    y = ax2 + bx + c